SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HOÁ

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
Năm học: 2011 – 2012
Môn Toán, Lớp 12 THPT
Ngày thi: 23 tháng 3 năm 2012
Thời gian làm bài 180 phút



CâuI (4,0 điểm) Cho hàm số

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị đã cho
Gọi
, tìm số nghiệm đã cho của phương trình:



Câu II (4,0 điểm)
Giải phương trình :
.
Giải hệ phương trình:


Câu III (4,0 điểm)
1/ Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 lập các số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau.Lấy ngẫu nhiên một số vừa lập.Tính xác suất để lấy được một số lớn hơn 2012.
2/Tính tích phân:

.
Câu IV. (6,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn
, đường thẳng
và điểm
.Gọi M là một điểm thay đổi trên (C) và B là điểm sao cho tứ giác ABMO là hình bình hành.Tính diện tích tam giác ABM, biết trọng tâm G của tam giác ABM thuộc
và G có tung độ dương
2.Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật có AB=a và BC=2a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy, các mặt phẳng (SBC) và (SCD) cùng tạo với đáy một góc bằng nhau.Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD bằng

a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b.Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SA và BD
Câu V. (2,0 điểm) Cho các số thực x, y, z thoả mãn
và
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.

----------Hết-----------




Gợi ý giải Đề thi HSG Toán 12 Thanh Hóa năm 2012
Câu 1.1 HS tự làm
Câu 1.2 Đặt
và chia 2 vế của PT cho -3 ta được PT


Dựa vào đồ thị (C) ở câu 1.1, dễ thấy phương trình trên có các nghiệm
thỏa mãn



Khi đó xét các phương trình

(1)

(2)
và
(3)
Vì

và
nên PT (1) có 3 nghiệm phân biệt, PT (2) và PT (3) đều có nghiệm duy nhất. Vậy PT đã cho có 5 nghiệm phân biệt.





Câu 2.1







Sau đó chia cả 2 vế cho

Câu 2.2

ĐKXĐ:

Phương trình thứ nhất tương đương với:

Đặt
,

Dễ thấy
là hàm đồng biến với

Khi đó, vì
liên tục trên
và
nên ta có 2x-y = x+ y hay
. Thay vào PT thứ 2 ta được

hay
. Đặt
ta có hệ

Trừ từng vế 2 PT cho nhau ta được
=0
Vì
>0 với mọi u, y nên ta tìm được y = u từ đó ta tìm được y = 1 và x = 2.
Câu 3.1
Gọi số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau lấy từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 là

TH1: nếu d = 0 thì có 24 số
TH2: nếu d khác 0, thì d có thể là 2 hoặc 4, TH này có 36 số.
Do đó có 60 số chẵn theo giả thiết bài toán.
Trong 60 số trên các số nhỏ hơn 2012 phải có dạng:

Vì d có thể là 0, 2, 4 nên có 18 số như vậy, suy ra các số lớn hơn 2012 là 42.
Từ đó suy ra xác suất cần tìm là 7/10.
Câu 3.2
Tách thành 2 tích phân, tích phân đầu là K có hs dưới dấu tích phân là hàm lẻ nên K=0, tích phân thứ thì đơn giản….
Câu 4.1


Vì ABMO là hình bình hành suy ra

hay


Vì M thuộc (C) nên
(*)
Mặt khác
hay

Thay vào (*) ta được
, kết hợp với việc G thuộc
và G có tung độ dương ta tìm được điểm G. Từ đó tìm được tọa độ của B, M và diện tích tam giác ABM.




Câu 4.2



Trường hợp 2:


Dựng BE //SA, E thuộc SH, gọi F là giao của BD và HK
Thì SA//(BEF) suy ra
d(SA,BD) = d(SA,(BEF))=d(A, (BEF))=
=
.
Dễ dàng tính